单摆周期公式推导「如何推导单摆周期计算公式」

单摆周期公式推导

设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,那么单摆的运动公式为：d²；θ/dt²+g/l*sinθ=0 令ω=dθ/dt,上式改写成：ωdω/dθ+g/l*sinθ=0 ω²=2g/l*cosθ+c 给定初始条件θ=α（0≤α≤π）,ω=0,则其特解为：ω²=2g/l*(cosθ-cosα）=4g/l*(sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 所以t=∫dθ/ω=1/2*√（g/l)*∫[0,θ]dθ/√（sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）) 做变换sin（θ/2）=sin（α/2）sinφ,则 t=√（l/g)*∫[0,φ]dφ/√（1-sin²；（α/2）*sin²；φ）=√（l/g)*F（φ,sin（α/2）) 以上是单摆从任意位置摆动任意角的公式,当单摆从任意位置开始摆动到竖直位置时,θ=α,此时φ=π/2 那么T=4t=4√（l/g)*F（π/2,sin（α/2）)=4√（l/g)*K(sin（α/2））,此处的α就是常说的摆角,现在看一下不同的摆角对周期的影响 单摆的近似公式为T=2π√（l/g）,精确公式为T=4√（l/g)*K(sin（α/2））,记相对误差为e（α） 那么e（α）=（2K(sin（α/2）)-π)/（2K(sin（α/2）)用Maple计算得到：当10度内,e= sine=l/g e（1）=0.0019% e（2）=0.0076% e（3）=0.0171% e（4）=0.0305% e（5）=0.0476% e（6）=0.0685% e（7）=0.0933% e（8）=0.1218% e（9）=0.1542% e（10）=0.1903% e（11）=0.2303% e（12）=0.2741% e（13）=0.3217% e（14）=0.3730% e（15）=0.4282% e（16）=0.4872% e（17）=0.5500% e（18）=0.6165% e（19）=0.6869% e（20）=0.7611% 实验室一般取α≤5,所以相对误差不超过0.05%,总的来说精度还是比较高的.

如何推导单摆周期计算公式

1、ma=-KX

2、m*X''=-KX

3、这是一个二阶常系数“微分方程”。

4、通解为：X=A*cos{√(K/m)*t}

5、ω=√(K/m)

6、T=2π√(m/K)

7、对于“单摆”，F=-(mg/L)*X，即：K=mg/L

8、代入：T=2π√(L/g)