高一数学零点定理

高一数学零点定理

1、一、零点的定义与判定定理

2、函数零点的定义：对于函数 y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

3、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

4、函数零点的分类

5、(1) 变号零点：零点附近两侧的函数值异号

6、(2) 不变号零点：零点附近两侧的函数值同号

7、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)⋅f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

8、判断函数零点个数的常用方法

9、(1) 解方程f(x)=0，方程f(x)=0的不同解的个数就是函数f(x)零点的个数。

10、(2) 直接作出函数f(x)的图象，其图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点的个数。

11、(3) 化函数的零点个数问题为方程g(x)=h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y=g(x)和y=h(x)的图象，两函数图象的交点个数就是函数f(X)的零点的个数。

零点定理是啥

1、零点定理”是函数的一个定理，还有同名电影。

2、我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。

3、设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0。

4、证明:不妨设f(a)<0,f(b)>0.令

5、E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.

6、由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，

7、存在ξ=supE∈[a,b].

8、下证f(ξ)=0(注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).).事实上，

9、(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知

10、存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

11、这与supE为E的上界矛盾;

函数零点的判定定理

1、函数零点存在性定理：

2、一般地，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根．

3、根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．

4、并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）=x2-3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．

5、若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．

6、函数零点个数的判断方法：

7、几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

8、①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x+1=0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x+1在[0，2]上只有一个零点；

9、②函数的零点是实数而不是数轴上的点．

10、代数法：求方程f（x）=0的实数根．

连续函数的零点定理

1、零点定理：函数在闭区域连续，如果端点处取值乘积小于零，则在区域之内，存在一个点的函数值为零。

2、f(ε)=0萊垍頭條

3、介值定理：介值定理和最值定理有关，当函数值存在最大值和最小值，对于最大值和最小值之间的数，在定义域上可以取到某个数，使得其函数值为最大值和最小值之间的数。